Question

（2013•黃埔區(qū)一模）如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為線段DD₁，BD的中點．
（1）求異面直線EF與BC所成的角；
（2）求三棱錐C-B₁D₁F的體積．

Answer 1

分析：（1）分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線EF與BC所成的角．
（2）先求出S△B1D1C，再由向量法求出點F到平面D₁B₁C的距離，由此能求出三棱錐C-B₁D₁F的體積．

解答：解：（1）分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
∵在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為線段DD₁，BD的中點，
∴E（0，0，1），F(xiàn)（1，1，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
∴

EF

=（1，1，-1），

BC

=（-2，0，0），
設(shè)異面直線EF與BC所成的角為θ，
則cosθ=|cos＜

EF

，

BC

＞|=|

-2

3 ×2

|=

3

3

，
∴異面直線EF與BC所成的角為arccos

3

3

．
（2）∵在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為線段DD₁，BD的中點，
∴S△B1D1C=

1

2

×B1D1×B1C=

1

2

×2

2

×2=2

2

，
∵B₁（2，2，2），D₁（0，0，2），C（0，2，0），F(xiàn)（1，1，0），
∴

D1B1

=(2，2，0)，

D1C

=（0，2，-2），

D1F

=(1，1，-2)，
設(shè)平面D₁B₁C的法向量

n

=（x，y，z），則

n

•

D1B1

=0，

n

•

D1C

=0，
∴

2x+2y=0 x+y-2z=0

，解得

n

=（1，-1，0），
∴點F到平面D₁B₁C的距離d=

| n • D1C |

| n |

=

|0-2+0|

2

=

2

，
∴三棱錐C-B₁D₁F的體積V=

1

3

d×S△D1B1C=

1

3

×

2

×2

2

=

4

3

．

點評：本題考查異面直線所成的角的求法，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．