Question

求下列函數(shù)的值域：（1）y=

5x+2

2x-3

；（2）y=(

1

4

)x-3 • (

1

2

)x+2，x∈[-2，2]．

Answer 1

分析：（1）可由分離常數(shù)法將函數(shù)解析變?yōu)閥=

5

2

-

19 2

2x-3

，再求函數(shù)值域；
（2）由題，令t=(

1

2

)x，由換元法得y=t²-3t+2，

1

4

≤t=(

1

2

)x≤4，再配方即可判斷出函數(shù)的最大值與最小值，從而得出函數(shù)的值域．

解答：（1）解：y=

5

2

-

19 2

2x-3

，
∵

19 2

2x-3

≠0
∴y≠

5

2

，
即函數(shù)的值域是（-∞，

5

2

）∪（

5

2

，+∞）

（2）解：y=(

1

2

)2x-3(

1

2

)x+2
令t=(

1

2

)x，則y=t²-3t+2，（2分）
∵x∈[-2，2]，∴

1

4

≤t=(

1

2

)x≤4，（4分）y=(t-

3

2

)2-

1

4

，（5分）
當(dāng)t=

3

2

時(shí)，ymin=-

1

4

，當(dāng)t=4時(shí)，y_max=6，
∴y∈[-

1

4

，  6]（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的值域，考查了分式函數(shù)的值域的求法，指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域的求法，解題的關(guān)鍵是理解復(fù)合函數(shù)的值域求法規(guī)律，及熟練使用分離常數(shù)法與配方法的技巧．