Question

13．設雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，右頂點為A，過F作AF的垂線與雙曲線的兩條漸近線交于B，C兩點，過B，C分別作AC，AB的垂線，兩垂線交于點D，若D到直線BC的距離小于2（a+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$），則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　　）

• A． （1，2）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （$\sqrt{2}$，2）
• D． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，令x=c，求得B，C的坐標，由雙曲線的對稱性知D在x軸上，設D（x，0），則由BD⊥AC得$\frac{\frac{bc}{a}}{c-x}$•（-$\frac{\frac{bc}{a}}{c-a}$）=-1，求出c-x，利用D到直線BC的距離小于2（a+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$），建立不等式關系，結合雙曲線離心率的定義，即可得出結論．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由題意可得D為△ABC的垂心，
即有AD⊥BC，即D在x軸上，
令x=c，可得y=$\frac{a}$x=$\frac{a}$•c=$\frac{bc}{a}$，
B（c，$\frac{bc}{a}$），同理C（c，-$\frac{bc}{a}$），
由BD⊥AC，可得k_BD•k_AC=-1，
由題意，A（a，0），
設D（x，0），則由BD⊥AC得$\frac{\frac{bc}{a}}{c-x}$•（-$\frac{\frac{bc}{a}}{c-a}$）=-1，
∴c-x=$\frac{^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}（c-a）}$，
∵D到直線BC的距離小于2（a+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$）=2（a+c），
∴$\frac{^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}（c-a）}$＜2（a+c），
∴$\frac{^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}}$＜2（c²-a²）=2b²，
則c²＜2a²，
即c＜$\sqrt{2}$a，
即1＜e＜$\sqrt{2}$，
則曲線的離心率的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$）．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，考查三角形的垂心的概念，以及兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運算能力，屬于中檔題．