Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+tx（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）當t=-e時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)不等式f（x）＞0的解集為P，且集合{x|0＜x≤2}⊆P，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當t=-e時，f（x）=e^x-ex，f'（x）=e^x-e．
由f'（x）=e^x-e＞0，解得x＞1；f'（x）=e^x-e＜0，解得x＜1．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，1）．
（Ⅱ）由不等式f（x）＞0的解集為P，且{x|0＜x≤2}⊆P，可知，對于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，即e^x+tx＞0即在x∈（0，2]上恒成立．
令，∴．
當0＜x＜1時，g'（x）＞0；當1＜x＜2時，g'（x）＜0．
∴函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，2）上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)g（x）在x=1處取得極大值g（1）=-e，即為在x∈（0，2]上的最大值．
∴實數(shù)t的取值范圍是（-e，+∞）．
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由不等式f（x）＞0的解集為P，且{x|0＜x≤2}⊆P，可知對于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，利用分離參數(shù)法，可得在x∈（0，2]上恒成立，求出右邊對應(yīng)函數(shù)的最大值，即可求實數(shù)t的取值范圍．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為在x∈（0，2]上恒成立，利用求出右邊對應(yīng)函數(shù)的最大值，可求實數(shù)t的取值范圍．