Question

已知函數f（x）的定義域為（0，+∞），對任意正數x₁，x₂均有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（Ⅰ）請寫出一個這樣的函數f（x）；
（Ⅱ）若x＞1時，f（x）＞0，判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并加以證明．你還能發(fā)現f（x）的其他性質嗎？

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數f（x）的定義域為（0，+∞），對任意正數x₁，x₂均有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴f（x）=0（x＞0）就是這樣的函數（也可用f（x）=log₂x）．
（Ⅱ）類比對數函數提出猜想：f（x）在（0，+∞）上是增函數．
證明：設0＜x₁＜x₂，則＞1，
∵x＞1時，f（x）＞0，
∴f（）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•）=f（x₁）+f（）-f（x₁）=f（）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數（證畢）．
f（x）還具有下列性質：f（x）的圖象經過（1，0）；當0＜x＜1時，y＜0．
分析：（Ⅰ）結果不唯一，如f（x）=0（x＞0），f（x）=log₂x等．
（Ⅱ）可類比對數函數提出猜想：f（x）在（0，+∞）上是增函數，再利用定義證明即可．
點評：本題考查抽象函數及其應用，突出考查函數單調性的判斷與證明，考查轉化思想與運算能力，屬于中檔題．