Question

5．已知a＞0，b∈R，函數f（x）=4ax²-2bx-a+b．
（1）證明：當0≤x≤1時，（i）函數f（x）的最大值為|2a-b|+a；
                                     （ii）f（x）+|2a-b|+a≥0；
（2）若-1≤f（x）≤1對任意x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出二次函數的對稱性，討論對稱性和$\frac{1}{2}$的關系進行求解就可．
（2）根據不等式恒成立轉化為不等式組關系，利用線性規(guī)劃的知識進行求解．

解答 解：（1）（i）∵a＞0，b∈R，
∴拋物線開口向上，對稱性x=$\frac{4a}$，
當$\frac{4a}$≤$\frac{1}{2}$，即b≤2a時，f（x）_max=f（1）=3a-
當$\frac{4a}$＞$\frac{1}{2}$，即b＞2a時，f（x）_max=f（0）=-a+b，
則f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{3a-b，}&{b≤2a}\\{-a+b，}&{b＞2a}\end{array}\right.$=|2a-b|+a；
（ii）當b≤2a時，f（x）+|2a-b|+a=4ax²-2bx+2a≥4ax²-4ax+2a=2a（2x²-2x+1）；
$\begin{array}{l}當b＞2a時，f（x）+|2a-b|+a=4a{x^2}+2b（1-x）-2a≥4a{x^2}+4a（1-x）-2a=2a（2{x^2}-2x+1），\\ 令g（x）=2{x^2}-2x+1=2{（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{1}{2}＞0，故f（x）+|2a-b|+a≥2a•g（x）≥0\end{array}$
（2）由（i）知，當0≤x≤1，f（x）_max=|2a-b|+a，
∴f（x）_max=|2a-b|+a≤1；若|2a-b|+a≤1；
則由（ii）知f（x）≥-（|2a-b|+a）≥-1；            …（10分）
則-1≤f（x）≤1對任意x∈[0，1]恒成立的等價條件是$\left\{\begin{array}{l}{|2a-b|+a≤1}\\{a＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2a-b≥0}\\{3a-b≤1}\\{a＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{2a-b＜0}\\{b-a≤1}\\{a＞0}\end{array}\right.$（•）   …（12分）
在直角坐標系aob 中，（*）所表示的平面區(qū)域為下圖，所以a+b的范圍是（-1，3]…（15分）

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，涉及一元二次函數的性質故，根據條件關系轉化為線性規(guī)劃是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．