Question

已知函數(shù)f(x)=px-

p

x

-lnx，g(x)=lnx-

p

x

(1+

e2-2e

p2

)，其中e=2.71828…．
（1）若f（x）在其定義域內是單調函數(shù)，求實數(shù)p的取值范圍；
（2）若p∈（1，+∞），問是否存在x₀＞0，使f（x₀）≤g（x₀）成立？若存在，求出符合條件的一個x₀；否則，說明理由．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)f（x）進行求導，令導數(shù)大于等于0在x＞0上恒成立即可．
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在x₀＞0，使f（x₀）≤g（x₀）成立，問題等價于：找一個x₀＞0使F（x）≤0成立，故只需滿足函數(shù)的最小值F（x）_min≤0即可．，再利用導數(shù)工具，求出F（x）_min，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：由f(x)=px-

p

x

-lnx，得f′(x)=p+

p

x2

-

1

x

=

(px2-x+p) x2

（1）由題意得：f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立或f'（x）≤0在（0，+∞）恒成立
若f'（x）≤0恒成立，則px²-x+p≤0恒成立∴p≤{

x

x2+1

}min
又

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

∈(0，

1

2

]∴p≤0滿足題意
若f'（x）≥0恒成立，則px²-x+p≥0恒成立∴p≥{

x

x2+1

}max=

1

2

綜合上述，p的取值范圍是(-∞，0]∪[

1

2

，+∞)．                   …（6分）
（2）令F(x)=f(x)-g(x)=px-2lnx+

e2-2e

px

．則問題等價于：找一個x₀＞0使F（x）≤0成立，故只需滿足函數(shù)的最小值F（x）_min≤0即可．
因F′(x)=p-

2

x

-

e2-2e

px2

=

(px-e)(px-2+e)

px2

=

p

x2

(x-

e

p

)(x-

2-e

p

)，
而x＞0，p＞1，

e

p

＞

2

p

＞0，

2-e

p

＜0，
故當0＜x＜

e

p

時，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減；當x＞

e

p

時，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增．
于是，F(x)min=F(

e

p

)=e-2+2lnp+e-2=2e+2lnp-4＞0．
與上述要求F（x）_min≤0相矛盾，故不存在符合條件的x₀．         …（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)單調性與其導函數(shù)正負之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調遞減．