定義在R上的函數(shù)f(x)滿足,對任x、y∈R均有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時,f(x)>0,f(2)=4,則f(x)在[-2012,-100]上的最大值為______.
解:令x=y=0得:f(0+0)=f(0)+f(0),
∴f(0)=0;
令y=-x得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),
∴y=f(x)為奇函數(shù);
∵當(dāng)x>0時,f(x)>0,
∴當(dāng)x1<x2時,x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0,
∴y=f(x)在R上單調(diào)遞增.
∴f(x)在[-2012,-100]上的最大值為f(-100).
∵f(2)=4,
∴f(-2)=-4,
∴f(-2-2)=f(-2)+f(-2)=2f(-2)=-4,即f(-4)=-8,
同理可得f(-6)=3f(-2)=-12
…,
f(-2n)=nf(-2),
∴f(-100)=50f(-2)=-200.
∴f(x)在[-2012,-100]上的最大值為-200.
故答案為:-200.
分析:通過賦值法,可證得y=f(x)為奇函數(shù),且在R上單調(diào)遞增,f(-2n)=nf(-2),從而可求得f(x)在[-2012,-100]上的最大值.
點(diǎn)評:本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用,著重考查賦值法的應(yīng)用,考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判定,考查轉(zhuǎn)化思想與推理運(yùn)算能力,屬于中檔題.