(2013•濟(jì)寧一模)如圖,F(xiàn)1、F2是雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過F2的直線與雙曲線C交于A、B兩點.若|AB|:|BF1|:|AF1|=3:4:5.則雙曲線的離心率為( �。�
分析:設(shè)|AF2|=t,|AB|=3x,根據(jù)雙曲線的定義算出t=2x,a=
3
2
x
.Rt△ABF1中算出cos∠BAF1=
4
5
得cos∠F2AF1=-
4
5
,在△F2AF1中,利用余弦定理算出|F1F2|=3
5
x,最后根據(jù)雙曲線的離心率公式加以計算,可得答案.
解答:解:設(shè)|AF2|=t,|AB|=3x,則|BF1|=4x,|AF1|=5x,
根據(jù)雙曲線的定義,得|AF1|-|AF2|=|BF2|-|BF1|=2a
即5x-t=(4x+t)-3x=2a,解之得t=2x,a=
3
2
x

∵|AB|:|BF1|:|AF1|=3:4:5,得△ABF1是以B為直角的Rt△
∴cos∠BAF1=
|AB|
|AF1|
=
4
5
,可得cos∠F2AF1=-
4
5

△F2AF1中,|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|•|AF2|cos∠F2AF1
=25x2+4x2-2×5x×2x×(-
4
5
)=45x2,可得|F1F2|=3
5
x
因此,該雙曲線的離心率e=
2c
2a
=
3
5
x
3x
=
5

故選:D
點評:本題著重考查了雙曲線的定義與簡單幾何性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)、利用余弦定理解三角形等知識,屬于中檔題.
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