長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，AA1＝c，求異面直線BD1和B1C所成角的余弦值．

答案：
解析：


　　解析：顯然，通過平移在長方體的表面及內(nèi)部不可能構(gòu)造出一個BD1和B1C所成的角，但同時又為了使構(gòu)造出的角便于計算，故可考慮補(bǔ)上一個與已知長方體相同的長方體DCEF－D1C1E1F1．具體作法是：延長A1D1，使A1D1＝D1F1，延長B1C1至E1，使B1C1＝C1E1，連E1F1，分別過E1、F1，作E1EC1C，F(xiàn)1FD1D，連EF，則長方體C1D1F1E－CDFE為所作長方體．


　　∵BCD1F1


　　∴BD1CF1


　　∴∠B1CF1就是異面直線BD1與B1C所成的角．


　　∵BD2＝a2＋b2


　　∴Rt△BDD1中，BD12＝BD2＋DD12＝a2＋b2＋c2


　　∴CF12＝BD12＝a2＋b2＋c2


　　∵B1C2＝b2＋c2，B1F12＝a2＋4b2


　　∴△B1CF1中


　　cos∠B1CF1＝


　　(1)當(dāng)c＞b時，cos∠B1CF1＞0


　　∴∠B1CF1為銳角，∠B1CF1就是異面直線BD1和B1C所成的角


　　(1)當(dāng)c＜b時，cos∠B1CF1＜0


　　∴∠B1CF1是鈍角


　　∴π－∠B1CF1就是異面直線BD1和B1C所成的角


　　(1)當(dāng)c＝b時，∠B1CF1＝90°


　　∴BD1⊥B1C


　　法二：作異面直線所成角的過程，其實(shí)就是平移異面直線的過程．借助于三角形中位線的平行性，也可以達(dá)到平移的目的．


　　如圖，分別取BC、BB1、B1D1的中點(diǎn)P、M、Q，連PM、MQ、PQ




　　則MP∥B1C，MQ∥BD1


　　∴∠PMQ(或其補(bǔ)角)就是異面直線BD1與B1C所成的角


　　
提示：
				
							
			

			

			
			

		
	

		

		





			
		
		
				

				練習(xí)冊系列答案
		

		
				
			

					

				相關(guān)習(xí)題
			

						
		

			

				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			


						
精英家教網(wǎng)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，過A1、C1、B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A1C1D1，且這個幾何體的體積為10．
（1）求棱A1A的長；
（2）求點(diǎn)D到平面A1BC1的距離．


			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			


						
精英家教網(wǎng)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=A1A=a，BC=
2
a，M是AD中點(diǎn)，N是B1C1中點(diǎn)．
（1）求證：A1、M、C、N四點(diǎn)共面；
（2）求證：BD1⊥MCNA1；
（3）求證：平面A1MNC⊥平面A1BD1；
（4）求A1B與平面A1MCN所成的角．


			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			


						
長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，AA1=5 則三棱錐A1-ABC的體積為（　�。�

                
A、10B、20C、30D、35


			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			


						
如圖，已知多面體ABCD-A1B1C1D1，它是由一個長方體ABCD-A'B'C'D'切割而成，這個長方體的高為b，底面是邊長為a的正方形，其中頂點(diǎn)A1，B1，C1，D1均為原長方體上底面A'B'C'D'各邊的中點(diǎn)．
（1）若多面體面對角線AC，BD交于點(diǎn)O，E為線段AA1的中點(diǎn)，求證：OE∥平面A1C1C；
（2）若a=4，b=2，求該多面體的體積；
（3）當(dāng)a，b滿足什么條件時AD1⊥DB1，并證明你的結(jié)論．


			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			


						
在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是側(cè)棱BB1的中點(diǎn)．
（1）求證：A1E⊥平面ADE；
（2）求三棱錐A1-ADE的體積．


			


			

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