Question

設f（x）在區(qū)間I上有定義，若對?x₁，x₂∈I，都有，則稱f（x）是區(qū)間I的向上凸函數；若對?x₁，x₂∈I，都有，則稱f（x）是區(qū)間I的向下凸函數，有下列四個判斷：
①若f（x）是區(qū)間I的向上凸函數，則-f（x）在區(qū)間I的向下凸函數；
②若f（x）和g（x）都是區(qū)間I的向上凸函數，則f（x）+g（x）是區(qū)間I的向上凸函數；
③若f（x）在區(qū)間I的向下凸函數，且f（x）≠0，則是區(qū)間I的向上凸函數；
④若f（x）是區(qū)間I的向上凸函數，?x₁，x₂，x₃，x₄∈I，則有f（）≥
其中正確的結論個數是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：對于①②④直接利用函數是“凸函數”的定義，通過放縮法證明即可；對于③利用舉反例的方法結合圖象法即可進行判斷．
解答：①若f（x）是區(qū)間I的向上凸函數，則對?x₁，x₂∈I，都有，
∴，
∴-f（x）在區(qū)間I的向下凸函數；正確．
②若f（x）和g（x）都是區(qū)間I的向上凸函數，則對?x₁，x₂∈I，都有，
，兩式相加得
∴f（x）+g（x）是區(qū)間I的向上凸函數；正確．
③若f（x）在區(qū)間I的向下凸函數，且f（x）≠0，則不一定是區(qū)間I的向上凸函數；
如f（x）=e^x，，如圖，

它們都是向下凸函數．故錯．
④若f（x）是區(qū)間I的向上凸函數，
?x₁，x₂，x₃，x₄∈I，則有f（）=f（）
≥，故正確．
其中正確的結論個數是3．
故選C．
點評：本題考查命題的真假判斷與應用以及放縮法證明問題的步驟，新定義的應用，考查分析問題與解決問題的能力．