Question

已知f（x）=-

4+ 1 x2

，點P_n（a_n，-

1

an+1

）在曲線y=f（x）上（n∈N^*）且a₁=1，a_n＞0．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足

1

bn

=-

1

an2

-n+1，對于任意n≥2，n∈N^*都有λb_n+

1

bn+1

≥λ恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由點P_n（a_n，-

1

an+1

）在曲線y=f（x）上，f（x）=-

4+ 1 x2

，代入可得-

1

an+1

=-

4+ 1 a 2 n

，且a_n＞0．整理為

1

a 2 n+1

-

1

a 2 n

=4．再利用等差數列的通項公式即可得出；
（2）由于

1

bn

=

1

an2

-n+1=4n-3-n+1=3n-2，可得b_n，代入λb_n+

1

bn+1

≥λ并整理得λ≤

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，原命題等價于該式對任意n≥2的整數恒成立．
設C_n=

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，證明{c_n}是單調遞增數列即可．

解答： 解：（1）∵點P_n（a_n，-

1

an+1

）在曲線y=f（x）上，f（x）=-

4+ 1 x2

，
∴-

1

an+1

=-

4+ 1 a 2 n

，且a_n＞0．
∴

1

a 2 n+1

-

1

a 2 n

=4．
∴數列{

1

a 2 n

}是等差數列，首項

1

a12

=1，公差d=4．
∴

1

a 2 n

=1+4（n-1），
∴

a

2 n

=

1

4n-3

．
∵a_n＞0，
∴a_n=

1

4n-3

 (n∈N*)．
（2）

1

bn

=

1

an2

-n+1=4n-3-n+1=3n-2，
∴b_n=

1

3n-2

，
代入λb_n+

1

bn+1

≥λ并整理得λ（1-

1

3n-2

）≤3n+1，
∴λ≤

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，
原命題等價于該式對任意n≥2的整數恒成立．
設C_n=

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，
則C_n+1-C_n=

(3n+1)(3n-4)

3n(n-1)

＞0，故C_n+1＞C_n，
∴{c_n}單調遞增，C_n的最小值為C₂=

28

3

，
∴λ的取值范圍是(-∞，

28

3

]．

點評：本題考查了函數的性質、等差數列的定義及其通項公式、恒成立問題的等價轉化、數列的單調性，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．