【題目】過(guò)橢圓E:1(a>b>0)上一動(dòng)點(diǎn)P向圓O:x2+y2=b2引兩條切線PA,PB,切點(diǎn)分別是A,B.直線AB分別與x軸,y軸交于點(diǎn)M,N(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)若在橢圓E上存在點(diǎn)P,滿足PA⊥PB,求橢圓E的離心率的取值范圍;
(2)求證:在橢圓E內(nèi),存在一點(diǎn)C滿足|CO|=|CA|=|CP|=|CB|;
(3)若橢圓E的短軸長(zhǎng)為2,△MON面積的最小值為,求橢圓E的方程.
【答案】(1)[,1);(2)見解析(3)
.
【解析】
(1)由題意可知,又由
,得
,因?yàn)?/span>
,列出不等式求解即可得到本題答案;
(2)當(dāng)點(diǎn)C為OP得中點(diǎn)時(shí),由直角三角形的性質(zhì):斜邊上的中線等于斜邊的一半,即可得到點(diǎn)C符合題意;
(3)由題意可知,設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo),求出以
為直徑的圓的方程,與圓O的方程相減得過(guò)切點(diǎn)
的直線方程,再求出點(diǎn)
的坐標(biāo),進(jìn)而求出
,再求出點(diǎn)O到直線MN的距離d,所以
,再結(jié)合點(diǎn)P在橢圓
上以及基本不等式,得到
,從而求得
,即可得到本題答案.
(1)∵,∴
,
又∵,∴
,
∵,∴
,∴
,
又∵,∴
,即
,
∴,∴
,
∴橢圓E的離心率的取值范圍為:;
(2)證明:當(dāng)點(diǎn)C為OP的中點(diǎn)時(shí),
∵直線PA與直線PB都和圓O相切,
∴都是直角三角形,
∴,∴
,
故在橢圓E內(nèi),存在一點(diǎn)C滿足;
(3)由題意可知,設(shè)點(diǎn)
,
∴以為直徑的圓的方程為
,與圓O的方程
相減得:
,
∴過(guò)切點(diǎn)的直線方程為:
,
令得,
,∴
;令
得,
,∴
,
∴,
∵點(diǎn)O到直線MN的距離,
∴,
∵點(diǎn)P在橢圓上,
∴,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等號(hào),
∴,
∴,∴
,∴
,
∴橢圓E的方程為:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
).
(1)若曲線在點(diǎn)
處的切線與直線
垂直,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)于任意,都有
成立,試求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是2018年第一季度五省GDP情況圖,則下列陳述中不正確的是
A. 2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省
B. 與2017年同期相比,各省2018年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng)
C. 2017年同期河南省的GDP總量不超過(guò)4000億元
D. 2018年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】海關(guān)對(duì)同時(shí)從A,B,C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè),從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位:件)如表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè).
地區(qū) | A | B | C |
數(shù)量 | 50 | 150 | 100 |
(1)求這6件樣品中來(lái)自A,B,C各地區(qū)商品的數(shù)量;
(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè),求這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 在四棱錐中,
為等邊三角形, 平面
平面
,四邊形
是高為
的等腰梯形,
為
的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求到平面
的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1.
(1)求角A的大。
(2)若△ABC的面積S=5,b=5,求sinBsinC的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足
,函數(shù)
是定義在
上的奇函數(shù),且滿足
.
(Ⅰ)確定與
的關(guān)系式,并求
的解析式.
(Ⅱ)若數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,且
,是否存在實(shí)數(shù)
,使得對(duì)于任意的
,都有
恒成立?若存在,求出
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019超長(zhǎng)“三伏”來(lái)襲,雖然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物,但隨著氣溫的不斷攀升,仍然無(wú)法阻擋冷飲品銷量的暴增.現(xiàn)在,某知名冷飲品銷售公司通過(guò)隨機(jī)抽樣的方式,得到其100家加盟超市3天內(nèi)進(jìn)貨總價(jià)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示:
組別(單位:百元) | ||||||
頻數(shù) | 3 | 11 | 20 | 27 | 26 | 13 |
(1)由頻數(shù)分布表大致可以認(rèn)為,被抽查超市3天內(nèi)進(jìn)貨總價(jià),μ近似為這100家超市3天內(nèi)進(jìn)貨總價(jià)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),利用正態(tài)分布,求
;
(2)在(1)的條件下,該公司為增加銷售額,特別為這100家超市制定如下抽獎(jiǎng)方案:
①令m表示“超市3天內(nèi)進(jìn)貨總價(jià)超過(guò)μ的百分點(diǎn)”,其中.若
,則該超市獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì);
,則該超市獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì);
,則該超市獲得3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì);
,則該超市獲得4次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì);
,則該超市獲得5次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì);
,則該超市獲得6次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).另外,規(guī)定3天內(nèi)進(jìn)貨總價(jià)低于μ的超市沒(méi)有抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì);
②每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金金額為1000元,每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為.
設(shè)超市A參加了抽查,且超市A在3天內(nèi)進(jìn)貨總價(jià)百元.記X(單位:元)表示超市A獲得的獎(jiǎng)金總額,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附參考數(shù)據(jù)與公式:,若
,則
,
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足
,
,設(shè)
.
(1)求;
(2)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列,并說(shuō)明理由;
(3)求的通項(xiàng)公式.
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