Question

10．已知關于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{1≤k{x}^{2}+2}\\{x+k≤2}\end{array}\right.$有唯一實數解，則實數k的取值集合{$1+\sqrt{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$}．

Answer 1

分析 根據不等式ax²+bx+c≤M（a＜0）有唯一實數解，即最大值$\frac{^{2}-4ac}{4a}$=M；不等式ax²+bx+c≤M（a＞0）有唯一實數解？最小值$\frac{^{2}-4ac}{4a}$=M，可以判斷實數k的取值，要對參數k進行分類討論，以確定不等式的類型，在各種情況中分別解答后，綜合結論即得最終結果．

解答 解：若k=0，不等式組1≤kx²+2x+k≤2可化為：1≤2x≤2，不滿足條件．
若k＞0，則若不等式組1≤kx²+2x+k≤2，$\frac{4-4{k}^{2}}{4k}$=2時，滿足條件．
此時解得：k=$1+\sqrt{2}$
若k＜0，則若不等式組1≤kx²+2x+k≤2，$\frac{4-4{k}^{2}}{4k}$=1時，滿足條件
此時解得：k=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
所以：實數k的取值集合{$1+\sqrt{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$}
故答案為{$1+\sqrt{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$}．

點評 本題考查了不等式ax²+bx+c≤M（a＜0）有唯一實數解，最大值$\frac{^{2}-4ac}{4a}$=M；不等式ax²+bx+c≤M（a＞0）有唯一實數解，最小值$\frac{^{2}-4ac}{4a}$=M．屬于基礎題．