Question

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在［-1,0)∪(0,1］上的偶函數(shù),當(dāng)x∈［-1,0)時(shí),f(x)=x³-ax(a∈R).

(1)當(dāng)x∈(0,1］時(shí)，求f(x)的解析式；

（2）若a＞3，試判斷f(x)在（0，1］上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論;

（3）是否存在a，使得當(dāng)x∈(0,1］時(shí),f(x)有最大值1？

Answer 1

分析:此題具有較強(qiáng)的綜合性,應(yīng)注意知識(shí)之間的相互轉(zhuǎn)化和相互聯(lián)系.

解:(1)∵x∈(0,1］時(shí),-x∈［-1,0),

∴f(-x)=(-x)³-a(-x)=ax-x³.

又f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),即f(x)=ax-x³.

(2)f(x)在（0，1］上單調(diào)遞增.理由如下：f′(x)=-3x²+a.∵x∈(0,1］,∴x²∈(0,1］.

∴-3x²≥-3.

∵a＞3,∴-3x²+a＞0.故f(x)在(0,1］上為增函數(shù).

(3)假設(shè)存在a,使得當(dāng)x∈(0,1］時(shí),f(x)有最大值1.

∴f′(x)=a-3x².令f′(x)=0,∴-3x²+a=0,

即a＞0時(shí),x=±.又∵x∈(0,1］,∴x=且＜1.∴f′(x)在(0,)上大于0，在（,1）上不小于0.

∴f(x)_極大值=

∴a=時(shí)，f(x)有最大值1.

綠色通道:關(guān)于存在性問(wèn)題,處理的方法可以先假設(shè)存在,再尋找所得的結(jié)論.