0<b<1+a,若關(guān)于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整數(shù)恰有3個,則( )
A.-1<a<0
B.0<a<1
C.1<a<3
D.2<a<3
【答案】
分析:要使關(guān)于x的不等式(x-b)
2>(ax)
2的解集中的整數(shù)恰有3個,那么此不等式的解集不能是無限區(qū)間,從而其解集必為有限區(qū)間,
解答:解:由題得不等式(x-b)
2>(ax)
2即(a
2-1)x
2+2bx-b
2<0,它的解應(yīng)在兩根之間,
因此應(yīng)有 a
2-1>0,解得a>1或a<-1,注意到0<b<1+a,從而a>1,
故有△=4b
2+4b
2(a
2-1)=4a
2b
2>0,
不等式的解集為
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或
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.
若不等式的解集為
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,
又由0<b<1+a得
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,
故
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,
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,這三個整數(shù)解必為-2,-1,0
2(a-1)<b≤3 (a-1),
注意到a>1,并結(jié)合已知條件0<b<1+a.
故要滿足題設(shè)條件,只需要2(a-1)<1+a<3(a-1)即可,則
b>2a-2
b<3a-3
又0<b<1+a
故 1+a>2a-2
3a-3>0
解得1<a<3,綜上1<a<3.
故選C.
點評:本小題考查解一元二次不等式解法,二次函數(shù)的有關(guān)知識,邏輯思維推理能力,含有兩個變量的題目是難題.