Question

如圖，已知F（c，0）是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)；⊙F：（x-c）²+y²=a²與x軸交于D，E兩點(diǎn)，其中E是橢圓C的左焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）設(shè)⊙F與y軸的正半軸的交點(diǎn)為B，點(diǎn)A是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，試判斷直線AB與⊙F的位置關(guān)系；
（3）設(shè)直線AB與橢圓C交于另一點(diǎn)G，若△BGD的面積為

24 6

13

c，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（1）由于圓F過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)，把（-c，0）代入圓F的方程，得4c²=a²，即可得到橢圓的離心率．
（2）在方程（x-c）²+y²=a²中令x=0得y²=a²-c²=b²，可知點(diǎn)B為橢圓的上頂點(diǎn)，進(jìn)而得到B(0，

3

c)，在圓F的方程中令y=0可得點(diǎn)D坐標(biāo)為（3c，0），則點(diǎn)A為（-3c，0），利用斜率計(jì)算公式可得k_AB，k_FD．只要判定k_AB•k_FD=-1，即可得到直線AB與⊙F相切．
（3）橢圓的方程可化為3x²+4y²=12c²．由（2）知切線AB的方程為y=

3

3

x+

3

c，聯(lián)立即可解得點(diǎn)G的坐標(biāo)．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)D（3c，0）到直線AB的距離d，利用S△BGD=

1

2

|BG|•d=

24 6

13

c即可解得c．

解答：解：（1）∵圓F過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)，把（-c，0）代入圓F的方程，得4c²=a²，∴2c=a．
故橢圓C的離心率e=

c

a

=

1

2

．
（2）在方程（x-c）²+y²=a²中令x=0得y²=a²-c²=b²，可知點(diǎn)B為橢圓的上頂點(diǎn)，
由（1）知，

c

a

=

1

2

，∴a=2c，b=

a2-c2

=

3

c，∴B(0，

3

c)，
在圓F的方程中令y=0可得點(diǎn)D坐標(biāo)為（3c，0），則點(diǎn)A為（-3c，0），
于是可得直線AB的斜率kAB=

3 c

3c

=

3

3

，
而直線FB的斜率kFB=

3 c

-c

=-

3

，
∵k_AB•k_FD=-1，
∴直線AB與⊙F相切．
（3）橢圓的方程可化為3x²+4y²=12c²
由（2）知切線AB的方程為y=

3

3

x+

3

c，
聯(lián)立

3x2+4y2=12c2 y= 3 3 x+ 3 c

，解得點(diǎn)G的坐標(biāo)為(-

24

13

c，

5 3

13

c)．
而點(diǎn)D（3c，0）到直線AB的距離d=

|2 3 c|

1+ 1 3

=3c，
由S△BGD=

1

2

•|BG|•d=

1

2

•

( 24 13 c)2+( 5 3 13 c- 3 c)2

•3c=

24 3

13

c2=

24 6

13

c
解得c=

2

，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

6

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切問(wèn)題、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到方程組、弦長(zhǎng)公式、兩點(diǎn)間的距離公式基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．