Question

8．（1）已知一圓過P（4，-2），Q（-1，3）兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長(zhǎng)4$\sqrt{3}$的圓，求圓的方程；
（2）求圓心在直線x+y=0上，且過兩圓x²+y²-2x+10y-24=0與x²+y²+2x+2y-8=0的交點(diǎn)的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（a，b），可得（a-4）²+（b+2）²=（a+1）²+（b-3）² ①，（a-4）²+（b+2）²=12+a² ②．解①、②組成的方程組求得ab的值，可得圓的半徑，從而求得圓的方程；
（2）可利用弦的垂直平分線過圓心，先求出弦的中垂線方程，以及由已知直線x+y=0過圓心，聯(lián)立方程組可求得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓的方程．

解答 解：（1）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（a，b），則由CP=CQ，可得（a-4）²+（b+2）²=（a+1）²+（b-3）² ①．
再根據(jù)圓在y軸上截得的線段長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$，可得（a-4）²+（b+2）²=12+a² ②．
由①②求得 $\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=4}\end{array}\right.$．
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，圓的半徑為$\sqrt{13}$； 當(dāng) $\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=4}\end{array}\right.$，半徑為$\sqrt{37}$．
故所求的圓的方程為 （x-1）²+（y-0）²=13，或（x-5）²+（y-4）²=37．
（2）將兩圓的方程聯(lián)立得方程組，解方程組求得兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（0，2）．
弦AB的中垂線為2x+y+3=0，
它與直線x+y=0交點(diǎn)（-3，3）就是圓心，又半徑r=$\sqrt{10}$，
故所求圓的方程為（x+3）²+（y-3）²=10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓相交的性質(zhì)，求出圓心的坐標(biāo)，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．