Question

設f(x)=lnx+

a

x2

．
（1）當a=1時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）求f（x）的零點個數．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數的零點

專題：導數的綜合應用

分析：（1）當a=1時，求函數的導數，根據函數單調性和導數之間的關系即可求f（x）的單調區(qū)間；
（2）根據函數零點的判斷條件即可求f（x）的零點個數．

解答： （1）解：f（x）的定義域是（0，+∞）（1分）
當a=1時，∵f′(x)=

1

x

-

1

x3

=

x2-1

x3

=

(x-1)(x+1)

x3

（2分）
令f'（x）=0，x=±1，（負舍去）                                   （3分）
當0＜x＜1時，f'（x）＜0；當x＞1時，f'（x）＞0（4分）
所以（0，1）是f（x）的減區(qū)間，（1，+∞）是f（x）的增區(qū)間                   （5分）
所以f（x）的減區(qū)間是（0，1），f（x）的增區(qū)間是（1，+∞）．                  （6分）
（2）f（x）的定義域是（0，+∞），∵f′(x)=

1

x

-

a

x3

=

x2-a

x3

（7分）
當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上是增函數，當a=0時有零點x=1，（8分）
當a＜0時，f（e^a）=a（e^2a+1）＜0，f（e^-a）=a（1-e^-2a）＞0，（9分）
（或當x→+0時，f（x）→-∞，當x→+∞時，f（x）→+∞，）
所以f（x）在（0，+∞）上有一個零點，（10分）
當a＞0時，由（1）f（x）在(0，

a

)上是減函數，f（x）在(

a

，+∞)上是增函數，所以當x=

a

是，f（x）有極小值，即最小值f(

a

)=

1

2

(lna+1)．                     （11分）
當

1

2

(lna+1)＞0，即a＞

1

e

時f（x）無零點，
當

1

2

(lna+1)=0，即a=

1

e

時f（x）有一個零點，
當

1

2

(lna+1)＜0，即0＜a＜

1

e

時f（x） 有2個零點．                    （13分）
綜合：當a＞

1

e

時f（x）無零點，當a=

1

e

時f（x）有一個零點，當0＜a＜

1

e

時f（x） 有2個零點．（14分）

點評：本題主要考查函數零點的判斷以及函數單調性的判斷，根據函數單調性和導數之間的關系是解決本題的關鍵．