Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+x2
（1）若當(dāng)x=﹣1時(shí)，f（x）取得極值，求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于 ．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

依題意有f'（﹣1）=0，故 ．

從而 ．

f（x）的定義域?yàn)? ，當(dāng) 時(shí)，f'（x）＞0；

當(dāng) 時(shí)，f'（x）＜0；

當(dāng) 時(shí)，f'（x）＞0．

從而，f（x）分別在區(qū)間 單調(diào)增加，在區(qū)間 單調(diào)減少．

（2）解：f（x）的定義域?yàn)椋ī乤，+∞）， ．

方程2x2+2ax+1=0的判別式△=4a2﹣8．

（�。┤簟鳎�0，即 ，在f（x）的定義域內(nèi)f'（x）＞0，故f（x）無(wú)極值．

（ⅱ）若△=0，則a= 或 ．

若 ， ，f′（x）= ．

當(dāng) 時(shí)，f'（x）=0，

當(dāng) 時(shí)，f'（x）＞0，所以f（x）無(wú)極值．

若 ， ， ，f（x）也無(wú)極值．

（ⅲ）若△＞0，即 或 ，則2x2+2ax+1=0有兩個(gè)不同的實(shí)根 ， ．

當(dāng) 時(shí)，x1＜﹣a，x2＜﹣a，從而f'（x）在f（x）的定義域內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，

故f（x）無(wú)極值．

當(dāng) 時(shí)，x1＞﹣a，x2＞﹣a，f'（x）在f（x）的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

由根值判別方法知f（x）在x=x1，x=x2取得極值．

綜上，f（x）存在極值時(shí)，a的取值范圍為 ．

由于x1+x2=﹣a，x1x2= ，

則f（x）的極值之和為

【解析】（1）先求函數(shù)定義域，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由題意可得，f′（﹣1）=0，代入可求a，代入a的值，分別解f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解即可．（2）由題意可得在區(qū)間（﹣a，+∞）上，f′（x）=0有根，結(jié)合一元二次方程根的存在情況討論該方程的△=4a2﹣8，求a的取值范圍，結(jié)合a的取值，把極值點(diǎn)代入函數(shù)f（x）可得，
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況．