Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，向量$\overrightarrow{a}$=（S_n，1），$\overrightarrow$=（2ⁿ-1，$\frac{1}{2}$），滿足條件$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，數(shù)列{b_n}滿足條件b₁=1，f（b_n+1）=$\frac{1}{{f（-{b_n}-1）}}$．
①求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，
②設(shè)c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，可得S_n=2ⁿ⁺¹-2，再由當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，n=1時(shí)，a₁=S₁，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）①運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和等差數(shù)列的定義，即可得到所求通項(xiàng)公式；
②求得C_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）由向量$\overrightarrow{a}$=（S_n，1），$\overrightarrow$=（2ⁿ-1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
可得$\frac{1}{2}$S_n=2ⁿ-1，即S_n=2ⁿ⁺¹-2，
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，滿足上式．
則有數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ，n∈N^*；
（2）①f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，b₁=1，f（b_n+1）=$\frac{1}{{f（-{b_n}-1）}}$．
可得（$\frac{1}{2}$）${\;}^{_{n+1}}$=$\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{-1-_{n}}}$=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{1+_{n}}$，
即有b_n+1=b_n+1，可得{b_n}為首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，
即有b_n=n；
②C_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，前n項(xiàng)和T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•（$\frac{1}{2}$）²+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
相減可得，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化簡可得，前n項(xiàng)和T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)與求和的關(guān)系，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，同時(shí)考查向量共線的坐標(biāo)表示和等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，屬于中檔題．