Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、M為空間任意兩點(diǎn)，且

PM

=

PB1

+6

AA1

+7

BA

+4

A1D1

，則M點(diǎn)一定

 

平面BA₁D₁內(nèi)．（填“在”或“不在”）

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P、M的坐標(biāo)，求出平面BA₁D₁的方程，驗(yàn)證點(diǎn)M是否在平面內(nèi)即可．

解答： 解：以A點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，
則

BA

=（-1，0，0），

AA1

=（0，0，1），

A1D1

=（0，1，0），
∵

PM

=

PB1

+6

AA1

+7

BA

+4

A1D1′

，
∴

PM

-

PB1

=6

AA1

+7

BA

+4

A1D1′

=（-7，4，6），
設(shè)P（0，0，0），M（x，y，z）；
∴

PB1

=（1，0，1），
所以

PM

=（-7，4，6）+（1，0，1）=（-6，4，7），
而平面BA₁D₁的方程為x+z-1=0，
把點(diǎn)M的坐標(biāo)（-6，4，7）代入，滿足平面方程，
∴M點(diǎn)在平面BA₁D₁內(nèi)．
故答案為：在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間向量的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，是較難的題目．