Question

若M為橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1上動點，直線L經(jīng)過圓（x-1）²+y²=

1

2

的圓心P，且與圓P交于A、B兩點，則2

MA

•

MB

的最大值為（　�。�

• A、18
• B、17
• C、16
• D、15

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)M(2cosθ，

3

sinθ)．由圓（x-1）²+y²=

1

2

的圓心P（1，0），半徑r=

2

2

．由于

MA

+

MB

=2

MP

，

MB

-

MA

=

AB

．利用數(shù)量積的運算性質(zhì)和余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：設(shè)M(2cosθ，

3

sinθ)．
圓（x-1）²+y²=

1

2

的圓心P（1，0），半徑r=

2

2

．
∵

MA

+

MB

=2

MP

，

MB

-

MA

=

AB

．
∴

MA

2+

MB

2+2

MA

•

MB

=4

MP

2，

MB

2+

MA

2-2

MA

•

MB

=

AB

2．
∴4

MA

•

MB

=4

MP

2-

AB

2，
∴2

MA

•

MB

=2

MP

2-

( 2 )2

2

=2[(1-2cosθ)2+(

3

sinθ)2]-1
=2（cosθ-2）²-1≤2×3²-1=17，當cosθ=-1時取等號．
∴2

MA

•

MB

的最大值為17．
故選：B．

點評：本題考查了向量的平行四邊形法則、三角形法則、數(shù)量積的運算性質(zhì)和余弦函數(shù)的單調(diào)性、圓的對稱性、橢圓的參數(shù)方程，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．