Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，

曲線C的參數(shù)方程為 ．

（Ⅰ）已知在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4，），判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最值．

（Ⅲ）請(qǐng)問(wèn)是否存在直線m ， m∥l且m與曲線C的交點(diǎn)A、B滿足；

若存在請(qǐng)求出滿足題意的所有直線方程，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

（Ⅰ）點(diǎn)P在直線上（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，d取得最小值，且最小值為

當(dāng)時(shí)，d取得最大值，且最大值為3

（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）把曲線C的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為曲線C的普通方程，再把點(diǎn)P的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為普通坐標(biāo)，由此能判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系．

（Ⅱ）由Q在曲線C上知Q到直線l：x-y+4=0的距離，由此能求出Q到直線l的距離的最小值．

（Ⅲ）設(shè)出平行線m方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線的距離公式即可。

試題解析：（Ⅰ）把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)化為直角坐標(biāo)，得P（0，4）。 2分

因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)（0，4）滿足直線的方程， 所以點(diǎn)P在直線上. 4分

（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 5分

從而點(diǎn)Q到直線的距離為

6分

由此得，當(dāng)時(shí)，d取得最小值，且最小值為

當(dāng)時(shí)，d取得最大值，且最大值為3 8分

（Ⅲ）設(shè)平行線m方程：x-y+n = 0 9分

設(shè)O到直線m的距離為d，則 10分

經(jīng)驗(yàn)證均滿足題意 ，所以滿足題意直線m有4條，方程為： 12分

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；直線與圓錐曲線的關(guān)系；參數(shù)方程化成普通方程．