Question

求下列函數(shù)的駐點、極值點和對應的極值，有條件時用計算機或計算器作圖對照．
（1）f（x）=2x²-6x+1；
（2）g（x）=cosx+

x

2

；
（3）f（x）=2x³+3x²+6x-7；
（4）h（x）=x²e^x．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,導數(shù)的運算

專題：計算題,作圖題,導數(shù)的綜合應用

分析：對四個函數(shù)依次求導并令導數(shù)為0，從而解出函數(shù)的駐點，再檢驗駐點附近導數(shù)的正負，從而確定是不是極值點，再求極值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2x²-6x+1，
∴令f′（x）=4x-6=0解得，
x=

3

2

，
故x=

3

2

為函數(shù)的駐點，
又∵在x=

3

2

附近，左側f′（x）＜0，右側f′（x）＞0；
∴x=

3

2

是函數(shù)的極小值點，極小值為f（

3

2

）=-

7

2

；
如下圖，

（2）∵g（x）=cosx+

x

2

，
∴令g′（x）=-sinx+

1

2

=0，
故x=2kπ+

π

6

和x=2kπ+

5π

6

，（k∈Z）是函數(shù)的駐點，
且判斷x=2kπ+

π

6

和x=2kπ+

5π

6

（k∈Z）是函數(shù)的也是函數(shù)的極值點，
當x=2kπ+

π

6

時有極大值g（2kπ+

π

6

）=

3

2

+kπ+

π

12

，（k∈Z）；
當x=2kπ+

5π

6

時有極小值g（2kπ+

5π

6

）=-

3

2

+kπ+

5π

12

，（k∈Z）；
如下圖，

（3）f′（x）=6x²+6x+6=6[（x+

1

2

）²+

3

4

]＞0，
故函數(shù)沒有駐點，極值點；
如下圖，

（4）令h′（x）=x²e^x+2xe^x=（2x+x²）e^x=0解得，
x=0或x=-2；
故x=0和x=-2是函數(shù)的駐點，
且易知x=0和x=-2分別是函數(shù)的極小值點與極大值點；
極小值h（0）=0，極大值h（-2）=

4

e2

．
如下圖，

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及學生作圖的能力，屬于難題．