Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC=60⁰，PA=AC=a，PB=PD=,點E在PD上，且PE:ED=2:1.

（I）證明PA⊥平面ABCD；

（II）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大小；

（Ⅲ）在棱PC上是否存在一點F，使BF//平面AEC？證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）證明  因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°， 所以AB=AD=AC=a，  在△PAB中， 由PA2+AB2=2a2=PB2   知PA⊥AB. 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD. （Ⅱ）解  作EG//PA交AD于G， 由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，連結(jié)EH， 則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角. 又PE : ED=2 : 1，所以 從而     （Ⅲ）解法一  以A為坐標原點，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標系如圖.由題設條件，相關各點的坐標分別為   所以 設點F是棱PC上的點，則        令   得 解得      即 時， 亦即，F(xiàn)是PC的中點時，、、共面. 又  BF平面AEC，所以當F是棱PC的中點時，BF//平面AEC. 解法二  當F是棱PC的中點時，BF//平面AEC，證明如下， 證法一  取PE的中點M，連結(jié)FM，則FM//CE.  ① 由   知 E是MD的中點. 連結(jié)BM、BD，設BDAC=O，則O為BD的中點. 所以  BM//OE.  ② 由①、②知，平面BFM//平面AEC. 又  BF平面BFM，所以BF//平面AEC. 證法二 因為            所以  、、共面. 又 BF平面ABC，從而BF//平面AEC.