Question

設(shè)在一個盒子中，放有標號分別為1，2，3的三張卡片，現(xiàn)從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片，標號分別記為x，y，設(shè)隨機變量ξ=|x-2|+|y-x|．
（1）寫出x，y的可能取值，并求隨機變量ξ的最大值；
（2）求事件“ξ取得最大值”的概率；
（3）求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）x，y的可能取值都為1，2，3．由此能示出隨機變量ξ的最大值．
（2）有放回地先后抽得兩張卡片的所有情況的種數(shù)n=3×3=9，由此能求出事件“ξ取得最大值”的概率．（3）ξ的所有取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差．

解答： 解：（1）x，y的可能取值都為1，2，3．
|x-2|≤1，|y-x|≤2，∴ξ≤3，
∴當(dāng)x=1，y=3或x=3，y=1時，ξ取最大值3．…（3分）
（2）有放回地先后抽得兩張卡片的所有情況的種數(shù)n=3×3=9，
∴P（ξ=3）=

2

9

．…（4分）
（3）ξ的所有取值為0，1，2，3，
當(dāng)ξ=0時，只有x=2，y=2這1種情況，∴P（ξ=0）=

1

9

．
當(dāng)ξ=1時，只有x=1，y=1，或x=2，y=1，或x=2，y=3，或x=3，y=3，
共4種情況，
∴P（ξ=1）=

4

9

；
當(dāng)ξ=2時，只有x=1，y=2，或x=3，y=2這2種情況，
∴P（ξ=2）=

2

9

．
當(dāng)ξ=3時，P（ξ=3）=

2

9

，…（7分）
∴隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 9	2 9	4 9	2 9

∴數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

1

9

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

2

9

=

14

9

，
方差Dξ=

1

9

(0-

14

9

)2+

2

9

(1-

14

9

)2+

4

9

(2-

14

9

)2+

2

9

(2-

14

9

)2=

8

9

．…（9分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．