Question

9．設(shè)F是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的點(diǎn)，圓x²+y²=$\frac{{a}^{2}}{9}$與線段PF交于A、B兩點(diǎn)，若A、B三等分線段PF，則C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{17}}{5}$

Answer 1

分析 取AB中點(diǎn)H，橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)為E，連結(jié)PE根據(jù)平面幾何的知識(shí)、勾股定理及中位線的性質(zhì)得a=5d

解答 解：如圖，取AB中點(diǎn)H，橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)為E，連結(jié)PE．
∵A、B三等分線段PF，∴H也是AB中點(diǎn)，即OH⊥AB
設(shè)OH=d，則PE=2d，PF=2a-2d，AH=$\frac{a-d}{3}$，
在Rt△OHA中，OA²=OH²+AH²，解得a=5d．
在Rt△OHF中，F(xiàn)H=$\frac{4}{5}a$，OH=$\frac{a}{5}$，OF=c，由OF²=OH²+FH²
化簡(jiǎn)得17a²=25c²，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{17}}{5}$．即C的離心率為$\frac{\sqrt{17}}{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓離心率的求解問題，關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件獲得關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，最后化歸為a，c（或e）的關(guān)系式，利用方程求解．屬于中檔題．