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2.橢圓x2a2+y2b2=1ab0的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0)、F2(c,0),過(guò)橢圓中心的弦PQ滿足|PQ|=2,∠PF2Q=90°,且△PF2Q的面積為1.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,1),且與橢圓交于M,N兩點(diǎn),若以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

分析 (1)利用已知條件推出平行四邊形PF1QF2為矩形,求出c,通過(guò)三角形的面積求解a,然后求解b,即可得到橢圓方程.
(2)利用{x22+y2=1y=kx+m2k2+1x2+4kmx+2m21=0,通過(guò)韋達(dá)定理求出m值,然后求解定點(diǎn)坐標(biāo).

解答 解:(1)∠PF2Q=90°⇒平行四邊形PF1QF2為矩形,
⇒|F1F2|=|PQ|=2⇒c=1SPF1F2=SPF2Q=1PF1PF2=2
又PF1+PF2=2a,得a2=2,b2=1,
橢圓方程:x22+y2=1….(4分)
(2)解:設(shè)直線l:y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),
{x22+y2=1y=kx+m2k2+1x2+4kmx+2m21=0
⇒△=82k2+1m2x1+x2=4km2k2+1x1x2=2m212k2+1….(6分)
以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,
AMAN=x1y11x2y21=0⇒3m2-2m-1=0….(10分)
又直線不經(jīng)過(guò)A(0,1),所以m≠1,m=13,
直線l:y=kx-13,
直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)013…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,橢圓方程的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求橢圓C的方程;
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A.14B.54C.74D.34

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