Question

16．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點F是棱CC₁的中點，P是正方體表面上的一點，若D₁P⊥AF，則線段D₁P長度的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\sqrt{2}$）
• B． （0，$\frac{\sqrt{34}}{4}$]
• C． （0，$\frac{3}{2}$]
• D． （0，$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 由P是正方體表面上的一點，且D₁P⊥AF，通過建立空間直角坐標(biāo)系，數(shù)量積運算性質(zhì)及其正方體的性質(zhì)即可得出．

解答 解：由P是正方體表面上的一點，且D₁P⊥AF．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
①由D₁B₁⊥對角面ACC₁A₁，則取B₁點時，滿足D₁B₁⊥AF，此時線段D₁P長度=$\sqrt{2}$．
②設(shè)點Q在直線AB上，則Q（1，t，0），$\overrightarrow{{D}_{1}Q}$=（1，t，-1），$\overrightarrow{AF}$=$（-1，1，\frac{1}{2}）$，
則$\overrightarrow{{D}_{1}Q}$•$\overrightarrow{AF}$=-1+t-$\frac{1}{2}$=0，解得t=$\frac{3}{2}$．此時$|\overrightarrow{{D}_{1}P}|$=$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{{D}_{1}Q}$|=$\frac{2}{3}\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$$＜\sqrt{2}$．
由對稱性可得：線段D₁P長度取得最大值D₁B=$\sqrt{2}$，
∴線段D₁P長度的取值范圍是（0，$\sqrt{2}$]．
故選：A．

點評 本題考查了正方體的性質(zhì)、線線線面垂直的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．