解:(1)設圓心坐標為(m,n)(m<0,n>0),
則該圓的方程為(x-m)
2+(y-n)
2=8已知該圓與直線y=x相切,
那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑,則

=2

即|m-n|=4…①
又圓與直線切于原點,將點(0,0)代入得m
2+n
2=8…②
聯(lián)立方程①和②組成方程組解得

故圓的方程為(x+2)
2+(y-2)
2=8;
(2)∵橢圓

+

=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
∴2a=10,得a=5,a
2=25,
由此可得,橢圓的方程為

+

=1
其焦距c=

=4,右焦點為(4,0),那么|OF|=4.
將兩圓的方程聯(lián)列,得

,解之得x=

,y=

.
即存在異于原點的點Q(

,

),
使得該點到右焦點F的距離等于|OF|的長.
分析:(1)設出圓心C(m,n),根據(jù)直線y=x與圓相切建立關于m、n的一個方程,而原點在圓C上建立關于m、n的另一個方程,兩方程聯(lián)解即可得到m=-2且n=2,由此即可得到圓C的標準方程;
(2)根據(jù)橢圓與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10,算出a
2=25,從而得到右焦點F(4,0),因此可得以F為圓心半徑r=0F=4的圓方程為(x-4)
2+y
2=16,將此方程與圓C方程聯(lián)解,可得x=

且y=

,所以存在異于原點的點Q(

,

),使得該點到右焦點F的距離等于|OF|的長.
點評:本題給出滿足條件的圓C,求圓C的標準方程,并依此探索橢圓

+

=1右焦點F到圓C上一點的距離能否等于4.著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、圓與圓的位置關系和圓錐曲線的綜合等知識,屬于中檔題.