Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC₁上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S．則下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）．
①當(dāng)CQ=1時(shí)，S的面積為

6

2

．
②當(dāng)

3

4

＜CQ＜1時(shí)，S為六邊形
③當(dāng)CQ=

3

4

時(shí)，S與m的交點(diǎn)R滿足C₁R₁=

1

3

④當(dāng)CQ=

1

2

時(shí)，S為等腰梯形
⑤當(dāng)0＜CQ＜

1

2

時(shí)，S為四邊形．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：①，當(dāng)CQ=1時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C₁重合，如圖知，截面S為菱形，易求其面積為

6

2

，可判斷①；
取AD的中點(diǎn)M，在DD₁上取點(diǎn)N，使得DN=CQ，則MN∥PQ；作AT∥MN，交直線DD₁于點(diǎn)T，則A、P、Q、T四點(diǎn)共面；
②，當(dāng)

3

4

＜CQ＜1時(shí)，

3

4

＜DN＜1⇒DT=2DN∈（

3

2

，2），T在DD₁的延長線上，設(shè)TQ與C₁D₁交于點(diǎn)E，AT與A₁D₁交于點(diǎn)F，則S為五邊形APQEF，可判斷②；
③，當(dāng)CQ=

3

4

時(shí)，則DN=

3

4

⇒DT=2DN=

3

2

⇒D₁T=

1

2

；由D₁R：TD₁=BC：DT可求得D₁R=

3

2

，繼而可得C₁R=

1

3

，可判斷③；
④，當(dāng)CQ=

1

2

時(shí)，則DN=

1

2

，易知點(diǎn)T與D₁重合，從而知S為等腰梯形APQD₁，可判斷④；
⑤，當(dāng)0＜CQ＜

1

2

時(shí)，則0＜DN＜

1

2

⇒DT=2DN＜1⇒S為四邊形APQT，可判斷⑤；．

解答： 解：對于①，當(dāng)CQ=1時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C₁重合，此時(shí)過點(diǎn)A，P，Q的平面與A₁D₁相交于R，且點(diǎn)R為A₁D₁的中點(diǎn)，

此時(shí)，截面APQR為菱形，該菱形的兩條對角線分別為：AQ=

3

，PR=

2

，
所以S=

1

2

×

3

×

2

=

6

2

，故①正確；
取AD的中點(diǎn)M，在DD₁上取點(diǎn)N，使得DN=CQ，則MN∥PQ；作AT∥MN，交直線DD₁于點(diǎn)T，則A、P、Q、T四點(diǎn)共面；

對于②，當(dāng)

3

4

＜CQ＜1時(shí)，

3

4

＜DN＜1⇒DT=2DN∈（

3

2

，2），T在DD₁的延長線上，設(shè)TQ與C₁D₁交于點(diǎn)E，AT與A₁D₁交于點(diǎn)F，則S為五邊形APQEF，故②錯(cuò)誤；
對于③，當(dāng)CQ=

3

4

時(shí)，則DN=

3

4

⇒DT=2DN=

3

2

⇒D₁T=

1

2

；由D₁R：TD₁=BC：DT⇒D₁R=

3

2

⇒C₁R=

1

3

，故③正確；
對于④，當(dāng)CQ=

1

2

時(shí)，則DN=

1

2

⇒DT=2DN=1⇒點(diǎn)T與D₁重合⇒S為等腰梯形APQD₁，故④正確；
對于⑤，當(dāng)0＜CQ＜

1

2

時(shí)，則0＜DN＜

1

2

⇒DT=2DN＜1⇒S為四邊形APQT，故⑤正確；
綜上，命題正確的是：①③④⑤．
故答案為：①③④⑤．

點(diǎn)評：本題考查多面體與截面的問題，要求學(xué)生掌握作截面的方法，要充分利用面面平行、線面平行的性質(zhì)定理確定截面，再利用相似性質(zhì)進(jìn)行具體的計(jì)算，屬于難題．