分析 (1)求導(dǎo),分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得h(x)極值;
(2)當(dāng)a=e時(shí),由f(x)-g(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{e}$時(shí),取等號(hào),由f′($\sqrt{e}$)=g′($\sqrt{e}$),則x=$\sqrt{e}$時(shí),y=f(x)與y=g(x)有公切線,切線方程y=2$\sqrt{e}$x+1-e,即可求得實(shí)數(shù)k,m的值.
解答 解:(1)h(x)=f(x)-g(x)=x2-2alnx,x>0,
h′(x)=$\frac{2({x}^{2}-a)}{x}$,
當(dāng)a≤0,h′(x)>0,則h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無極值,
當(dāng)a>0時(shí),h′(x)>0,即x2-a>0,解得:a>$\sqrt{a}$或x<-$\sqrt{a}$,(舍去)
h′(x)<0,即x2-a<0,解得:0<x<$\sqrt{a}$,
∴h(x)在(0,$\sqrt{a}$)單調(diào)遞減,在($\sqrt{a}$,+∞)單調(diào)遞增,
∴h(x)的極小值為h($\sqrt{a}$)=a-2aln$\sqrt{a}$=a-alna,無極大值;
(2)當(dāng)a=e時(shí),h($\sqrt{a}$)=h($\sqrt{e}$)=e-elne=0,此時(shí)h(x)=f(x)-g(x)=0,
∴f(x)-g(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{e}$時(shí),取等號(hào);
f′(x)=2x,f′($\sqrt{e}$)=2$\sqrt{e}$,g′(x)=$\frac{2e}{x}$,g′($\sqrt{e}$)=2$\sqrt{e}$,
∴f′($\sqrt{e}$)=g′($\sqrt{e}$),
且在x=$\sqrt{e}$處f($\sqrt{e}$)=g($\sqrt{e}$)=e+1,
即x=$\sqrt{e}$時(shí),y=f(x)與y=g(x)有公切線,切線方程y=2$\sqrt{e}$x+1-e,
此時(shí)g(x)=2$\sqrt{e}$x+1-e=f(x),滿足g(x)≤kx+m≤f(x)恒成立,
解得:k=2$\sqrt{e}$,m=1-e,
實(shí)數(shù)k,m的值分別為2$\sqrt{e}$,1-e.
點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查利用導(dǎo)數(shù)的求函數(shù)的單調(diào)性及最值,考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | [2,+∞) | B. | (1,2] | C. | (1,3] | D. | [3,+∞) |
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A. | $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $-\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
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A. | $\frac{3\sqrt{5}}{2}$-1 | B. | $\frac{3\sqrt{3}}{2}$-1 | C. | 2$\sqrt{3}$-1 | D. | $\sqrt{10}$-1 |
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A. | 48種 | B. | 72種 | C. | 96種 | D. | 108種 |
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