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6.已知函數(shù)f(x)=x2+1,g(x)=2alnx+1(a∈R)
(1)求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的極值;
(2)當(dāng)a=e時,是否存在實數(shù)k,m,使得不等式g(x)≤kx+m≤f(x)恒成立?若存在,請求實數(shù)k,m的值;若不存在,請說明理由.

分析 (1)求導(dǎo),分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得h(x)極值;
(2)當(dāng)a=e時,由f(x)-g(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=e時,取等號,由f′(e)=g′(e),則x=e時,y=f(x)與y=g(x)有公切線,切線方程y=2ex+1-e,即可求得實數(shù)k,m的值.

解答 解:(1)h(x)=f(x)-g(x)=x2-2alnx,x>0,
h′(x)=2x2ax,
當(dāng)a≤0,h′(x)>0,則h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無極值,
當(dāng)a>0時,h′(x)>0,即x2-a>0,解得:a>a或x<-a,(舍去)
h′(x)<0,即x2-a<0,解得:0<x<a,
∴h(x)在(0,a)單調(diào)遞減,在(a,+∞)單調(diào)遞增,
∴h(x)的極小值為h(a)=a-2alna=a-alna,無極大值;
(2)當(dāng)a=e時,h(a)=h(e)=e-elne=0,此時h(x)=f(x)-g(x)=0,
∴f(x)-g(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=e時,取等號;
f′(x)=2x,f′(e)=2e,g′(x)=2ex,g′(e)=2e,
∴f′(e)=g′(e),
且在x=e處f(e)=g(e)=e+1,
即x=e時,y=f(x)與y=g(x)有公切線,切線方程y=2ex+1-e,
此時g(x)=2ex+1-e=f(x),滿足g(x)≤kx+m≤f(x)恒成立,
解得:k=2e,m=1-e,
實數(shù)k,m的值分別為2e,1-e.

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查利用導(dǎo)數(shù)的求函數(shù)的單調(diào)性及最值,考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程,考查計算能力,屬于中檔題.

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