分析 (1)求導(dǎo),分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得h(x)極值;
(2)當(dāng)a=e時,由f(x)-g(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=√e時,取等號,由f′(√e)=g′(√e),則x=√e時,y=f(x)與y=g(x)有公切線,切線方程y=2√ex+1-e,即可求得實數(shù)k,m的值.
解答 解:(1)h(x)=f(x)-g(x)=x2-2alnx,x>0,
h′(x)=2(x2−a)x,
當(dāng)a≤0,h′(x)>0,則h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無極值,
當(dāng)a>0時,h′(x)>0,即x2-a>0,解得:a>√a或x<-√a,(舍去)
h′(x)<0,即x2-a<0,解得:0<x<√a,
∴h(x)在(0,√a)單調(diào)遞減,在(√a,+∞)單調(diào)遞增,
∴h(x)的極小值為h(√a)=a-2aln√a=a-alna,無極大值;
(2)當(dāng)a=e時,h(√a)=h(√e)=e-elne=0,此時h(x)=f(x)-g(x)=0,
∴f(x)-g(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=√e時,取等號;
f′(x)=2x,f′(√e)=2√e,g′(x)=2ex,g′(√e)=2√e,
∴f′(√e)=g′(√e),
且在x=√e處f(√e)=g(√e)=e+1,
即x=√e時,y=f(x)與y=g(x)有公切線,切線方程y=2√ex+1-e,
此時g(x)=2√ex+1-e=f(x),滿足g(x)≤kx+m≤f(x)恒成立,
解得:k=2√e,m=1-e,
實數(shù)k,m的值分別為2√e,1-e.
點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查利用導(dǎo)數(shù)的求函數(shù)的單調(diào)性及最值,考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程,考查計算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [2,+∞) | B. | (1,2] | C. | (1,3] | D. | [3,+∞) |
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A. | −√32 | B. | 12 | C. | −12 | D. | √32 |
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A. | 3√52-1 | B. | 3√32-1 | C. | 2√3-1 | D. | √10-1 |
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A. | 48種 | B. | 72種 | C. | 96種 | D. | 108種 |
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