Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+a}{x}$，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設函數(shù)g（x）=（x-k）e^x+k，k∈Z，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)，當a=1時，若?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（0，+∞），不等式5f（x₁）+g（x₂）＞0成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題等價于x+$\frac{x+5}{{e}^{x}-1}$＞k對x∈（0，+∞）時恒成立，設h（x）=x+$\frac{x+5}{{e}^{x}-1}$，求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-a-lnx}{{x}^{2}}$，（x＞0），
由f′（x）=0，解得：x=e^1-a，
0＜x＜e^1-a時，f′（x）＞0，此時f（x）遞增，
x＞e^1-a時，f′（x）＜0，此時f（x）遞減，
故函數(shù)f（x）在（0，e^1-a）遞增，在（e^1-a，+∞）遞減；
（2）a=1時，由（1）得f（x）≤f（e^1-a）=1，
故原不等式等價于5+（x-k）e^x+k＞0，當x∈（0，+∞）時恒成立，
∵x∈（0，+∞）時，e^x-1＞0，
即原不等式等價于x+$\frac{x+5}{{e}^{x}-1}$＞k對x∈（0，+∞）時恒成立，
設h（x）=x+$\frac{x+5}{{e}^{x}-1}$，則h′（x）=$\frac{{e}^{x}{（e}^{x}-x-6）}{{{（e}^{x}-1）}^{2}}$，
令F（x）=e^x-x-6，則F′（x）=e^x-1，
x∈（0，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞0，
∴函數(shù)F（x）在（0，+∞）遞增，
而F（2）=e²-8＜0，F(xiàn)（3）=e³-9＞0，
故F（2）F（3）＜0，
故存在唯一的x₀∈（2，3），使得F（x₀）=0，即${e}^{{x}_{0}}$=x₀+6，
x∈（0，x₀）時，F(xiàn)（x）＜0，h′（x）＜0，∴函數(shù)h（x）遞減，
x∈（x₀，+∞）時，F(xiàn)（x）＞0，h′（x）＞0，∴函數(shù)h（x）遞增，
∴x=x₀時，函數(shù)h（x）有極小值（即最小值）h（x₀），
∵h（x₀）=x₀+$\frac{{x}_{0}+5}{{e}^{{x}_{0}}-1}$=x₀+1∈（3，4），
又k＜h（x₀），k∈Z，
∴k的最大整數(shù)值是3．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及轉化思想，考查函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．