Question

已知x∈[-

π

3

，

2π

3

]．
（1）求函數(shù)y=cosx的值域；
（2）求函數(shù)y=-3sin²x-4cosx+4的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦函數(shù)的定義域和值域

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由x的范圍結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可得；（2）化簡(jiǎn)可得y=-3（1-cos²x）-4cosx+4，換元，令cosx=t，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答： 解：（1）∵x∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴當(dāng)x=

2π

3

時(shí)，函數(shù)y=cosx取最小值cos

2π

3

=-

1

2

，
當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)y=cosx取最大值cos0=1，
∴函數(shù)y=cosx的值域?yàn)閇-

1

2

，1]；
（2）化簡(jiǎn)可得y=-3sin²x-4cosx+4
=-3（1-cos²x）-4cosx+4 
令cosx=t，由（1）知t∈[-

1

2

，1]；
代入可得y=3t²-4t+1
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t=

2

3

時(shí)，y取最小值-

1

3

，
當(dāng)t=-

1

2

時(shí)，y取最大值

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦函數(shù)的值域，以及二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬基礎(chǔ)題．