Question

8．過兩點A（1，0），B（2，1），且圓心在直線x-y=0上的圓的標準方程是（x-1）²+（y-1）²=1．

Answer 1

分析 根據A、B的坐標算出AB的斜率k=1，線段AB的中點為（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），進而算出線段AB中垂線的方程為y=-x+2．由題意得圓心C為AB的中垂線與直線x-y=0的交點，聯(lián)解兩直線的方程得圓心為C（1，1），再利用兩間點的距離公式算出半徑r=1，可得所求圓的標準方程．

解答 解：∵點A（1，0）、B（2，1），
∴直線AB的斜率為k=$\frac{1-0}{2-1}$=1，線段AB的中點為（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
由此可得AB的垂直平分線的斜率k′=-1
∴線段AB的垂直平分線的方程為y-$\frac{1}{2}$=-（x-$\frac{3}{2}$），化簡得y=-x+2，
∵點A、B在圓上，且圓心在直線x-y=0上，
∴解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
可得圓心的坐標為（1，1），
圓的半徑為r=|AC|=$\sqrt{（1-1）^{2}+（1-0）^{2}}$=1，
∴所求圓的標準方程為（x-1）²+（y-1）²=1．
故答案為：（x-1）²+（y-1）²=1．

點評 本題求經過定點A、B，且圓心在定直線上的圓方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、兩點間的距離公式、圓的標準方程等知識，屬于基礎題．