Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$sinx，cos2x），x∈R，設函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求f（x）的表達式并完成下面的表格和畫出f（x）在[0，π]范圍內的大致圖象；

		0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3}{2}π$
x	0					π
f（x）

（2）若方程f（x）-m=0在[0，π]上有兩個根α、β，求m的取值范圍及α+β的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的表達式，畫出函數(shù)圖象即可；（2）結合圖象，得到$\frac{α+β}{2}=\frac{4}{12}π$或$\frac{10}{12}π$，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），

$2x-\frac{π}{6}$	$-\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3}{2}π$	$\frac{11}{6}π$
x	0	$\frac{π}{12}$	$\frac{4}{12}π$	$\frac{7}{12}π$	$\frac{10}{12}π$	π
f（x）	$-\frac{1}{2}$	0	1	0	-1	$-\frac{1}{2}$

如圖示：

（2）由圖可知m∈（-1，-$\frac{1}{2}$）∪（-$\frac{1}{2}$，1），
$\frac{α+β}{2}=\frac{4}{12}π$或$\frac{10}{12}π$，
∴$α+β=\frac{2}{3}π$或$\frac{5}{3}π$．

點評 本題考查了向量問題，考查三角函數(shù)的圖象及畫法，考查方程根的問題，是一道中檔題．