Question

設數列{a_n}滿足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=

n

2

，n∈N*．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

1

log 1 2 an

，c_n=

bnbn+1

n+1 + n

，記S_n=c₁+c₂+…+c_n，證明：S_n＜1．

Answer 1

分析：（1）由題意，a1+2a2+22a3+…+2n-2•an-1+2n-1an=

n

2

，當n≥2時，a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=

n-1

2

，所以2n-1an=

n

2

-

n-1

2

=

1

2

，故當n≥2時，an=

1

2 n

，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由bn=

1

log 1 2 an

=

1

log 1 2 ( 1 2 )n

=

1

n

．知cn=

n+1 - n

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此能夠證明S_n＜1．

解答：解：（1）由題意，a1+2a2+22a3+…+2n-2•an-1+2n-1an=

n

2

，
當n≥2時，a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=

n-1

2

，
兩式相減，得2n-1an=

n

2

-

n-1

2

=

1

2

，
所以，當n≥2時，an=

1

2 n

，…（4分）
當n=1時，a1=

1

2

也滿足上式，
所求通項公式an=

1

2 n

，n∈N^*．…（6分）
（2）∵bn=

1

log 1 2 an

=

1

log 1 2 ( 1 2 )n

=

1

n

．…（8分）
cn=

n+1 - n

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（10分）
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

＜1．…（12分）

點評：本題考查數列與不等式的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．