設(shè)函數(shù),已知f(x)在x=1處有極值.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)當(dāng)(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),證明:e(e-x)(e+x-6)+4≥x4;
(3)證明:對(duì)任意的n>1,n∈N*,不等式恒成立.
【答案】分析:(1)由題意函數(shù),已知f(x)在x=1處有極值,所以f(1)=0,進(jìn)而建立a的方程,解出即可;
(2)由題意對(duì)函數(shù)求導(dǎo),求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的單調(diào)性,即可證明;
(3)有(2)可知函數(shù)在定義域上的最大值,利用累加法即可得證.
解答:解:(1)由題意函數(shù),已知f(x)在x=1處有極值,
所以f(1)=0∴1+a+2=0解得:a=-3.
(2)∵,(x>0)
,
,

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(.(2,e),單調(diào)的減區(qū)間為(1,2),
=,又f(e)=,
f(e)-f(1)=
e2-3e+2

即:e2-6e+4≥x2-6x+4lnx
即:e2-x2+6x-6e+4≥4lnx⇒(e-x)(e+x-6)+4≥4lnx

∴e(e-x)(e+x-6)+4≥x4;
(3)∵,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,e),
∴當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),函數(shù)f(x)在x=2處取得最小值2ln2-4,


,

   

   
由于以上各式并不都能取等號(hào),所以把以上各式相加,變形得:
   
    =

點(diǎn)評(píng):此題考查了函數(shù)極值的定義,還考查了利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性及最值,還有利用累加法證明與n有關(guān)的命題.
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設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域分別為Df,Dg,且Df
?
Dg
,若?x∈Df,g(x)=f(x),則函數(shù)g(x)為f(x)在Dg上的一個(gè)延拓函數(shù).已知f(x)=2x(x<0),g(x)是f(x)在R上的一個(gè)延拓函數(shù),且g(x)是奇函數(shù),則g(x)=
 

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1
4
x1+
3
4
x2)<
1
4
f(x1)+
3
4
f(x2)
成立,則f(x)是定義在D上的β函數(shù).
(1)試判斷f(x)=x2是否是其定義域上的β函數(shù)?
(2)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),求證:f(x)不是定義在R上的β函數(shù).
(3)設(shè)f(x)是定義在集合D上的函數(shù),若對(duì)任意實(shí)數(shù)α∈[0,1]以及集合D中的任意兩數(shù)x1,x2恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2),則稱f(x)是定義在D上的α-β函數(shù).已知f(x)是定義在R上的α-β函數(shù),m是給定的正整數(shù),設(shè)an=f(n),n=1,2,3…m且a0=0,am=2m,記∫=a1+a2+a3+…+am,對(duì)任意滿足條件的函數(shù)f(x),求∫的最大值.

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