Question

如圖在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，PA＝1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點，F(xiàn)是AB的中點．

(1)求證：BE∥平面PDF；

(2)求證：平面PDF⊥平面PAB；

(3)求平面PAB與平面PCD所成的銳角．

Answer 1

答案：
解析：

(3)(解法一)以A為原點，垂直于AD、AP的方向為x軸，AD、AP的方向分別為y軸、z軸建立空間直角坐標系，易知P(0，0，1)、C(，3，0)、D(0，2，0)、F(，，0)　9分 　　由(2)知DF⊥平面PAB，∴＝(，－，0)是平面PAB的一個法向量　10分 　　設平面PCD的一個法向量為(x，y，z) 　　由·＝(x，y，z)·(，1，0)＝0得x＋y＝0 　　由·＝(x，y，z)·(0，2，－1)＝0得2y－z＝0 　　在以上二式中令y＝，則得x＝－1，z＝2 　　∴＝(－1，，2)…11分 　　設平面PAB與平面PCD所成的銳角為 　　∴cos＝|cos＜，＞|＝ 　　∴＝60° 　　∴平面PAB與平面PCD所成的銳角為60°　12分 　　(3)(解法二)設平面PAB與平面PCD的交線為， 　　∵CD∥AB，AB平面PAB，CD平面PAB 　　∴CD∥平面PAB 　　∵CD平面PCD 　　∴CD∥ 　　∴AB∥　9分 　　作FM⊥交于M，連MD，易知FM＝AP＝1，DF＝　10分 　　由(2)知DF⊥AB 　　∴⊥DF 　　∵FM、DF是平面MDF內的兩條相交直線，∴⊥平面MDF 　　∴∠FMD就是平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的平面角　11分 　　在直角△FMD中，tan∠FMD＝ 　　∴∠FMD＝60° 　　∴平面PAB與平面PCD所成的銳角為60°　12分