Question

如圖，在直三棱柱中，、分別為、的中點。

（I）證明：ED為異面直線與的公垂線；

（II）設求二面角的大小。

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）設O為AC中點，連結EO，BO，則EO又，所以，

EOBD為平行四邊行，ED∥OB。                            

∵AB=BC，∴RO⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BO面ABC，故BO⊥平面ACC₁A₁，

∴ED⊥平面ACC₁A₁，ED⊥AC₁、ED⊥CC₁，

∴ED⊥BB₁，ED為異面直線AC₁與BB₁的公垂線。          

（Ⅱ）連結A₁E，由AA₁=AC=AB可知，A₁ACC₁為正方形，

∴A₁E⊥AC₁，又由ED⊥平面A₁ACC₁和ED平面ADC₁知平面ADC₁⊥平面A₁ACC₁，

∴A₁E⊥平面ADC_1，作EF⊥AD，垂足為F，連結A₁F，則A₁F⊥AD,∠A₁FE為二面角的平面角。

不妨設AA₁=2，

則AC=2，AB=，ED=OB=1，EF=，

∴∠A₁EF=60^O。

所以二面角為60^O。                                          

解法二：

（Ⅰ）如圖，建立直角坐標系O-xyz，其中原點O為AC的中點。

設A（a,0,0）,B(0,b,0),B₁(0,b,2c).

則 

又  

       ∴

所以ED是異面直線BB₁與AC₁的公垂線。        

（Ⅱ）不妨設A（1，0，0）

則B（0，1，0），C（-1，0，0），A（1，0，2），

          

∴         BC⊥面A₁AD.

又       

∴         EC⊥面C₁AD.                                          

        ，即得和 的夾角為60⁰

            所以二面角為60°。