如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,側面PAD⊥底面ABCD,且AD=
2
PA=
2
PD.
(1)求證:平面PAB⊥平面PCD
(2)在線段AB上是否存在點G,使得平面PCD與平面PGD夾角的余弦值為
1
3
?若存在,請說明理由.
考點:二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定
專題:空間位置關系與距離,空間角
分析:(1)先證明CD⊥PA,然后證明PA⊥PD.利用直線與平面垂直的判定定理證明PA⊥平面PCD,最后根據面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC.
(2)假設在線段AB上,存在點G,使得二面角C-PD-G的余弦值為
1
3
,然后以O為原點,直線OA,OF,OP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,設G(1,a,0)(0≤a≤2).利用空間向量的坐標運算求出a值,即可得出結論.
解答: 解:(1)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩面ABCD=AD
ABCD為正方形,CD⊥AD,CD?平面ABCD
∴CD⊥平面PAD.
∴CD⊥PA.
又∵AD=
2
PA=
2
PD.
∴PA=PD=
2
2
AD,
∴△PAD是等腰直角三角形,
且∠APD=90°,
即PA⊥PD
CD∩PD=D,且CD、PD?面PDC
∴PA⊥面PDC
又PA?面PAB,
∴面PAB⊥面PDC.
(2)如圖,取AD的中點O,連結OP,OF.
∵PA=PD,∴PO⊥AD.
∵側面PAD⊥底面ABCD,
面PAD⊥面ABCD,
∴PO⊥面ABCD,
而O,F(xiàn)分別為AD,BD的中點,∴OF∥AB,
又ABCD是正方形,故OF⊥AD.
∵PA=PD=
2
2
AD,∴PA⊥PD,OP=OA=1.
以O為原點,直線OA,OF,OP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
則有A(1,0,0),F(xiàn)(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,0,1).
若在AB上存在點G,使得二面角C-PD-G的余弦值為
1
3

連結PG,DG
設G(1,a,0)(0≤a≤2).
由以上知平面PDC的法向量為
PA
=(1,0,-1).
設平面PGD的法向量為
n
=(x,y,z).
DP
=(1,0,1),
GD
=(-2,-a,0),
∴由
n
DP
=x+z=0
n
GD
=-2x-ay=0
,
令x=1,則y=-
2
a
,z=-1,
n
=(1,-
2
a
,-1),
∴cos<
n
,
PA
>=
2
2
2+
4
a2
=
1
3

解得a=
1
2

則在線段AB上存在點G(1,
1
2
,0),使得二面角C-PD-G的余弦值為
1
3
點評:本題考查直線與平面垂直的判定以及二面角的平面角及求法,考查邏輯推理能力.建立坐標系,利用向量法是解決本題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

過點(
5
2
,
3
2
)且被圓C:x2+y2-2x-4y=0截得的最短弦的弦長為( 。
A、3
10
B、
10
C、
2
D、
26

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=max{x2-x,1-x2}的單調增區(qū)間是( 。
A、[-
1
2
,0],[1,+∞)
B、(-∞,-
1
2
],[0,1]
C、[-
1
2
,1]
D、[0,1]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,PCBM是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1,BC=2,又AC=1,∠ACB=120°,AB⊥PC,直線AM與直線PC所成的角為60°.
(Ⅰ)求二面角M-AC-B的余弦值;
(Ⅱ)求點C到面MAB的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在添加劑的搭配使用中,為了找到最佳的搭配方案,需要對各種不同的搭配方式作比較.在試制某種牙膏新品種時,需要選用兩種不同的添加劑.現(xiàn)有芳香度分別為0,1,2,3,4,5的六種添加劑可供選用.根據試驗設計原理,通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗.(寫解題過程)
(1)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4的概率;
(2)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

給出一個算法的程序框圖(如圖所示).
(1)說明該程序的功能;
(2)請用WHILE型循環(huán)語句寫出程序.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知三角形△ABC與△BCD所在平面相互垂直,且∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD,點P,Q分別在線段BD,CD上,沿直線PQ將△PQD向上翻折,使D與A重合.
(Ⅰ)求證:AB⊥CQ;
(Ⅱ)求證P為BD的中點;
(Ⅲ)求直線AP與平面ABC所成的角.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=sin(
π
3
-2θ)+cos(
π
3
+2θ),求函數(shù)最大值和周期.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,等邊△ABC的邊長為2,以A為圓心,半徑為1作圓,PQ是圓的直徑,求
BP
CQ
的最大值,并指明此時四邊形BCQP的形狀.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案