Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且AD=

2

PA=

2

PD．
（1）求證：平面PAB⊥平面PCD
（2）在線段AB上是否存在點G，使得平面PCD與平面PGD夾角的余弦值為

1

3

？若存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）先證明CD⊥PA，然后證明PA⊥PD．利用直線與平面垂直的判定定理證明PA⊥平面PCD，最后根據面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．
（2）假設在線段AB上，存在點G，使得二面角C-PD-G的余弦值為

1

3

，然后以O為原點，直線OA，OF，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設G（1，a，0）（0≤a≤2）．利用空間向量的坐標運算求出a值，即可得出結論．

解答： 解：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD
ABCD為正方形，CD⊥AD，CD?平面ABCD
∴CD⊥平面PAD．
∴CD⊥PA．
又∵AD=

2

PA=

2

PD．
∴PA=PD=

2

2

AD，
∴△PAD是等腰直角三角形，
且∠APD=90°，
即PA⊥PD
CD∩PD=D，且CD、PD?面PDC
∴PA⊥面PDC
又PA?面PAB，
∴面PAB⊥面PDC．
（2）如圖，取AD的中點O，連結OP，OF．
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵側面PAD⊥底面ABCD，
面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，
而O，F(xiàn)分別為AD，BD的中點，∴OF∥AB，
又ABCD是正方形，故OF⊥AD．
∵PA=PD=

2

2

AD，∴PA⊥PD，OP=OA=1．
以O為原點，直線OA，OF，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則有A（1，0，0），F(xiàn)（0，1，0），D（-1，0，0），P（0，0，1）．
若在AB上存在點G，使得二面角C-PD-G的余弦值為

1

3

，
連結PG，DG
設G（1，a，0）（0≤a≤2）．
由以上知平面PDC的法向量為

PA

=（1，0，-1）．
設平面PGD的法向量為

n

=（x，y，z）．
∵

DP

=（1，0，1），

GD

=（-2，-a，0），
∴由

n • DP =x+z=0 n • GD =-2x-ay=0

，
令x=1，則y=-

2

a

，z=-1，
故

n

=（1，-

2

a

，-1），
∴cos＜

n

，

PA

＞=

2

2 • 2+ 4 a2

=

1

3

，
解得a=

1

2

．
則在線段AB上存在點G（1，

1

2

，0），使得二面角C-PD-G的余弦值為

1

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定以及二面角的平面角及求法，考查邏輯推理能力．建立坐標系，利用向量法是解決本題的關鍵．