Question

如圖ABC-A₁B₁C₁，已知平面平行于三棱錐V-A₁B₁C₁的底面ABC，等邊∆ AB₁C所在的平面與底面ABC垂直，且∠ABC=90°，設(shè)AC=2a,BC=a.

（1）求證直線B₁C₁是異面直線與A₁C₁的公垂線；

（2）求點A到平面VBC的距離；

（3）求二面角A-VB-C的大小.

Answer 1

解法1：

（Ⅰ）證明：∵平面∥平面，

∴

∴

又∵平面⊥平面，平面∩平面，

∴⊥平面，

∴

∴，

又.

∴為與的公垂線.

（Ⅱ）解法1：過A作于D，

         ∵△為正三角形，

∴D為的中點.

∵BC⊥平面

∴，

又，

∴AD⊥平面，

∴線段AD的長即為點A到平面的距離.

在正△中，.

∴點A到平面的距離為.

解法2：取AC中點O連結(jié)，則⊥平面，且=.

由（Ⅰ）知，設(shè)A到平面的距離為x，

∴，

即，解得.

即A到平面的距離為.

則

所以，到平面的距離為.

(III)過點作于，連，由三重線定理知

∴∠是二面角的平面角。

在中，

∴

∴。

∴。

所以，二面角的大小為.

解法二：

取中點連,易知底面，過作直線交于。

取為空間直角坐標系的原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系。則。

（I），

∴，

∴。

∴

    又∵

由已知。

，

而∴。

又與顯然相交，

∴是的公垂線。

（II）設(shè)平面的一個法向量，

  又

  由

取 得

點到平面的距離，即在平面的法向量上的投影的絕對值。

，設(shè)所求距離為。

       則

             

             

              所以，A到平面VBC的距離為.

（III）設(shè)平面的一個法向量                     

由                                                        

取       

∴

二面角為銳角，

所以，二面角的大小為