Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=1，BC=

2

，CD⊥AB，垂足為D．
（1）求證：BC∥平面AB₁C₁；
（2）求點B₁到面A₁CD的距離．

Answer 1

分析：（1）利用線線平行證明線面平行，證明BC∥B₁C₁即可；
（2）利用等體積法，即由V_B1-A1CD=V_C-A1B1D，可求點B₁到面A₁CD的距離．

解答：（1）證明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴BC∥B₁C₁，
又BC?平面AB₁C₁，B₁C₁?平面AB₁C₁，
∴BC∥平面AB₁C₁；
（2）解：∵∠ACB=90°，AA₁=AC=1，BC=

2

，CD⊥AB，
∴CD=

6

3

，AD=

3

3

，AB=

3

∴A₁D=

2 3

3

∵AA₁=AC=1，∴A₁C=

2

∴A₁D²+CD²=A₁C²，
∴A₁D⊥CD，∴S△A1CD=

1

2

×

2 3

3

×

6

3

=

2

3

設點B₁到面A₁CD的距離為h．
∵S△A1DB1=

1

2

×

3

×1=

3

2

∴由V_B1-A1CD=V_C-A1B1D，可得

1

3

•

2

3

h=

1

3

•

3

2

•

6

3

∴h=

3

2

即點B₁到面A₁CD的距離為

3

2

．

點評：本題考查線面平行，考查點到面的距離的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．