Question

16．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，M，N分別是線段A₁C₁和BD上的動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷正確的是①③④⑤（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上） 
①線段MN有最小值，且最小值為1
②不論M，N如何運(yùn)動(dòng)，線段MN和B₁D都不可能垂直
③存在一個(gè)位置，使得MN所在的直線與四個(gè)側(cè)面都平行
④$|{MN}|=\sqrt{2}$的情況只有四種
⑤若M，N，B，C四點(diǎn)能構(gòu)成三棱錐，其體積只與點(diǎn)N的位置有關(guān)，與M無關(guān)．

Answer 1

分析 當(dāng)M，N分別是線段A₁C₁和BD上的中點(diǎn)時(shí)，由異面直線的距離，即可判斷①；
當(dāng)M與C₁重合，N與B重合，由三垂線定理，即可判斷②；
當(dāng)M，N分別是線段A₁C₁和BD上的中點(diǎn)時(shí)，MN平行于四條側(cè)棱，由線面平行的判定定理，即可判斷③；
考慮面對角線，BC₁，A₁D，A₁B，C₁D四種，即可判斷④；
由于M在A₁C₁上，A₁C₁平行于底面ABCD，則M到底面的距離為定值1，由棱錐的體積公式即可判斷⑤．

解答 解：對于①，M，N分別是線段A₁C₁和BD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M，N分別是線段A₁C₁和BD上的中點(diǎn)時(shí)，MN⊥BD，MN⊥A₁C₁，即MN為
異面直線A₁C₁和BD的公垂線段，即有線段MN有最小值，且最小值為1，故①對；
對于②，當(dāng)M與C₁重合，N與B重合，連接BC₁，B₁C，
由BC₁⊥B₁C，CD⊥平面BCC₁B₁，由三垂線定理可得
B₁D⊥BC₁，故②錯(cuò)；
對于③，存在一個(gè)位置，當(dāng)M，N分別是線段A₁C₁和BD上的中點(diǎn)時(shí)，MN平行于四條側(cè)棱，由線面平行的判定定理，
可得使MN所在的直線與四個(gè)側(cè)面都平行，故③對；
對于④，$|{MN}|=\sqrt{2}$的情況只能是面對角線，BC₁，A₁D，A₁B，C₁D四種，故④對；
對于⑤，M，N，B，C四點(diǎn)能構(gòu)成三棱錐，由于M在A₁C₁上，
A₁C₁平行于底面ABCD，則M到底面的距離為定值1，
則三棱錐的體積只與點(diǎn)N的位置有關(guān)，與M無關(guān)，故⑤對．
故答案為：①③④⑤．

點(diǎn)評 本題考查空間線線、線面的位置關(guān)系和距離及體積的求法，考查運(yùn)算和推理能力，以及轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．