Question

10．已知（1+x）（x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，則n的值可能是（　�。�

• A． 9
• B． 10
• C． 11
• D． 12

Answer 1

分析 由于（1+x）（x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，可知：（x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)與含$\frac{1}{x}$的項(xiàng)，利用（x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展開式中的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵（1+x）（x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，∴（x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)與含$\frac{1}{x}$的項(xiàng)，
（x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展開式中的通項(xiàng)公式：T_r+1=${∁}_{n}^{r}$x^n-r$（\frac{1}{{x}^{2}}）^{r}$=${∁}_{n}^{r}$x^n-3r，（r=0，1，2，…，n）．
經(jīng)過驗(yàn)證：只有取n=10時(shí)，10-3r≠0，-1．
因此n的值可能是10．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．