Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若θ為銳角，且f(θ+

π

8

)=

2

3

，求tanθ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式兩項(xiàng)分別利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期，由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函數(shù)的遞增區(qū)間；
（Ⅱ）將x=θ+

π

8

代入f（x）解析式，利用誘導(dǎo)公式變形求出cos2θ的值，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，得到cosθ的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinθ的值，即可求出tanθ的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
∵ω=2，∴f（x）的最小正周期為π，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
則單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z；
（Ⅱ）∵f（θ+

π

8

）=

2

3

，∴

2

sin（2θ+

π

2

）=

2

3

，
∴cos2θ=2cos²θ-1=

1

3

，
∵θ為銳角，∴cosθ=

6

3

，
∴sinθ=

1-cos2θ

=

3

3

，
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，二倍角的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．