已知集合A={x|x2+bx+c=0}中兩個(gè)元素的平方和、乘積分別是5和2,B={x|x2-ax+(a-1)=0},C={x|x2-mx+2=0},且有A∪B=A,A∩C=C,求a,m的取值范圍.
解:集合A={x|x
2+bx+c=0}中兩個(gè)元素是方程x
2+bx+c=0的兩根,設(shè)為x
1,x
2.
由

,得到A={1,2},
∵A∪B=A,A∩C=C,
∴B⊆A,C⊆A,
由B⊆A,B={x|x
2-ax+(a-1)=0},得:
(1)若B=∅,由△=(-a)
2-4(a-1)=(a-2)
2≥0,得到B=∅不可能;
(2)若B={1},則有

,
解得:a=2;
(3)若B={2},則有

,此時(shí)a無(wú)解;
(4)若B={1,2}時(shí),則有

,
解得:a=3;
同理由C⊆A,C={x|x
2-mx+2=0},得:
(1)當(dāng)C=∅時(shí),△=m
2-8<0,
解得:-2

<m<2

;
(2)當(dāng)C={1}或{2}時(shí),由兩根之積不為2,舍去;
(3)當(dāng)C={1,2}時(shí),則

,
解得:m=3,
綜上,a=2或a=3,m=3或-2

<m<2

.
分析:由集合A中的兩個(gè)元素的平方和、乘積分別是5和2,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩元素,確定出集合A={1,2},根據(jù)A∪B=A,A∩C=C,得到B為A的子集,C為A的子集,
當(dāng)B為A子集時(shí),分四種情況考慮:(1)當(dāng)B為空集時(shí),由根的判別式大于0,矛盾,故B不肯能為空集;(2)當(dāng)B={1}時(shí),由根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于a的方程組,求出方程組的解得到a的值;(3)當(dāng)B={2}時(shí),由根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于a的方程組,而此方程組無(wú)解,此情況不成立;(4)當(dāng)B={1,2},由根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于a的方程組,求出方程組的解得到a的值;當(dāng)C為A子集時(shí),同理也分為四種情況考慮,分別求出m的值及m的范圍,綜上,得到滿足題意a、m的值及范圍.
點(diǎn)評(píng):此題考查了交集、并集的運(yùn)算,根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系,以及集合間的包含關(guān)系,利用了分類(lèi)討論的思想,是一道綜合性較強(qiáng)的試題.