Question

9．已知f（x）=x²-$\frac{a}{x}$（x≠0，常數(shù)a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若f（x）在（-∞，-2]上為減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論a=0和a≠0，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≤-2x³對x∈（-∞，-2]恒成立，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當a=0時，f（x）=x²，
對任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（-x）=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)．
當a≠0時，f（x）=x²-$\frac{a}{x}$（a≠0，x≠0），取x=±1，
得f（-1）+f（1）=2≠0，f（-1）-f（1）=-2a≠0，
∴f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），
∴函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，
綜上，當a=0時，f（x）為偶函數(shù)；
當a≠0時，函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
（2）f′（x）=2x+$\frac{a}{{x}^{2}}$，
要使函數(shù)f（x）在x∈（-∞，-2]上為減函數(shù)，
則有f′（x）≤0在（-∞，-2]時恒成立，
即2x+$\frac{a}{{x}^{2}}$≤0恒成立，
即a≤-2x³對x∈（-∞，-2]恒成立，
故a≤16．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．