Question

9．過(guò)點(diǎn)P（2，1）作直線l交x，y正半軸于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|取到最小值時(shí)，直線l的方程是（　�。�

• A． x+y-3=0
• B． x+2y-4=0
• C． x-y+3=0
• D． x-2y-4=0

Answer 1

分析 本題常規(guī)思想是采用待定系數(shù)法，設(shè)直線l方程y=k（x-2）+1，表示出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，根據(jù)直線過(guò)x軸、y軸正半軸，確定向量$\overrightarrow{PA}$與$\overrightarrow{PB}$方向相反，再利用數(shù)量積運(yùn)算及基本不等式，求當(dāng)|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|取到最小值時(shí)的參數(shù)k．
也可以用四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證比較，①是否過(guò)P點(diǎn)，②直線的斜率是否為負(fù)，②|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|的值誰(shuí)最�。�

解答 解法一：
解：由題知，直線l的斜率存在且小于0，故設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）+1，
令y=0，得x=$2-\frac{1}{k}$，
令x=0，得y=1-2k，
所以，A（$2-\frac{1}{k}$，0），B（0，1-2k），
故 $\overrightarrow{PA}$=（$-\frac{1}{k}$，-1），$\overrightarrow{PB}$=（-2，-2k），
又由題，及右圖知向量$\overrightarrow{PA}$與$\overrightarrow{PB}$方向相反，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|cos＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{PB}＞$=$-|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|$，
∴$|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|$=$-\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$-（\frac{2}{k}+2k）$=$（-\frac{2}{k}）+（-2k）$．
∵k＜0
∴$-（\frac{2}{k}+2k）$=$（-\frac{2}{k}）+（-2k）$ $≥2\sqrt{（-\frac{2}{k}）•（-2k）}$=4．
當(dāng)且僅當(dāng) k=-1時(shí)，取得 $|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|$的最小值4．
∴直線l的方程為：y=-（x-2）+1即x+y-3=0，
故選：A．
解法二：
解：由題，直線l交x，y正半軸于A，B兩點(diǎn)，知直線l的斜率為負(fù)值，
C選項(xiàng)，斜率為1，故排除．
D選項(xiàng)，斜率為$\frac{1}{2}$，故排除．
A選項(xiàng)，斜率為-1，符合．
B選項(xiàng)，斜率為$-\frac{1}{2}$，符合．
故選項(xiàng)A、B進(jìn)行下一步的篩選，
比較|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|的值，若值跟大，則排除，值更小，則是答案．
A選項(xiàng)：直線l與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A（3，0），B（0，3），
計(jì)算|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{（3-2）^{2}+（0-1）^{2}}$•$\sqrt{（0-2）^{2}+（3-1）^{2}}$=4，
B選項(xiàng)：直線l與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A（4，0），B（0，2）
計(jì)算|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（0-1）^{2}}$•$\sqrt{（0-2）^{2}+（2-1）^{2}}$=5，
知 4＜5．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 知識(shí)點(diǎn)考查了直線與向量的綜合應(yīng)用，向量的數(shù)量積與模積的關(guān)系，基本不等式；數(shù)學(xué)思想方法考查了數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法、排除法、比較法．綜合性雖然比較強(qiáng)，但考查的是常用知識(shí)點(diǎn)，沒(méi)有設(shè)置易錯(cuò)點(diǎn)，故屬于中檔題．